Recta

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Para otros usos de este término, véase Recta (desambiguación).

La recta, o linea recta, en geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión, y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. La rectas se suelen denominar con una letra minúscula.

Contenido

Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta

Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,[1] establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:

  • Un línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).
  • Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).
  • Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).

También estableció dos postulados relacionados con la línea recta:

  • Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1).
  • Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, postulado 5).

Características de la recta

Algunas de las características de la recta son las siguientes:

  • La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
  • La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.
  • La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Ecuación de la recta

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente m\,, es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación: m = \left( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \right)

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:

y - y_1 = m (x - x_1)\!

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y2 − y1 = m(x2 − x1):

y - b = m (x - 0)\!

y - b = m x \!

y = m x + b \!

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)

Así como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

(0, b)\! y (a, 0)\!

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

m = \left( \frac{0 - b}{a - 0} \right) = \frac{-b}{a}

Después se sustituye en la ecuación y2 − y1 = m(x2 − x1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

y - 0 = - \frac {b}{a}(x - a)
ay = - bx + ab\!

bx + ay = ab\!

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente ab:

\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}\!


\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \!

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta intersecta a los ejes.

Forma normal de la ecuación de la recta

Esta es la forma normal de la recta:

x cos\omega + y sen\omega - p = 0 \!


Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.


Ax + By + C = 0 \!


Sacando raiz cuadrada a la suma de los cuadrados de A y B . Como sigue:


k = \sqrt{A^2 + B^2}


Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular p dividimos a C entre k.


Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kp, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.[2]

La recta en coordenadas cartesianas

Imagen:la recta en coordenadas cartesianas.png

La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde a la fórmula general:

y = m \cdot x + n

La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:

y_{A} = m \cdot x_{A} + n
y_{B} = m \cdot x_{B} + n

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}
n = \frac{y_{A} \cdot x_{B} - y_{B} \cdot x_{A}}{x_{B} - x_{A}}
  • m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje x.
  • m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de abscisas de un par de puntos cualesquiera de la recta.
  • n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de ordenadas).

Rectas notables

  • La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general x = xv (constante).
  • La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general y = yh (constante).
  • Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación: y = (m)(x)\;.
  • Dos rectas cualesquiera:
y = \left( m_1 \right)\left( x \right)+ n_1 \!
y = \left( m_2 \right)\left( x \right)+ n_2 \!


serán paralelas si y solo si m_1 = m_2\;. Además, serán coincidentes cuando: n_1 = n_2\;
serán perpendiculares si y sólo si m_1 = -1/ m_2\;, es decir: (m_1)(m_2) = -1 \;

Véase también

Referencias

  1. ↑ www.euclides.org: Los Elementos [1]
  2. ↑ WOOTON, William. Geometría Analítica Moderna. México 1979. P.p. 90

Enlaces externos

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Recta"

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